Një polinom përmban një ndryshore (x) të ngritur në një fuqi, të njohur si një shkallë, dhe disa terma dhe/ose konstante. Faktorizimi i një polinomi nënkupton ndarjen e shprehjes në shprehje më të vogla që shumohen. Kjo njohuri studiohet nga Algjebra I e tutje dhe mund të jetë e vështirë të kuptohet nëse nuk keni një themel.
hapa
Duke filluar
Hapi 1. Mblidhni shprehjen
Formati standard për ekuacionin kuadratik është:
sëpatë2 + bx + c = 0
Filloni duke renditur kushtet e ekuacionit nga fuqia më e madhe në atë më të vogël, ashtu si në formën e mësipërme. Për shembull, merrni;
6 + 6x2 + 13x = 0
Shprehja do të riorganizohet në mënyrë që të mund të punohet më lehtë duke ndryshuar vendndodhjen e termave:
6x2 + 13x + 6 = 0
Hapi 2. Gjeni formën e faktorizuar duke përdorur një nga metodat e mëposhtme
Faktorizimi i një polinomi rezulton në dy shprehje më të vogla që mund të shumëzohen për të prodhuar polinomin origjinal:
6x2 + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
Në këtë shembull, (2x +3) dhe (3x + 2) janë faktorë të shprehjes origjinale, 6x2 + 13x + 6.
Hapi 3. Kontrolloni rezultatin
Shumëzoni faktorët e identifikuar. Pastaj thjesht kombinoni terma të ngjashëm. Fillojme me:
(2x + 3) (3x + 2)
Le ta testojmë duke përdorur metodën FOIL (Anglisht për First Outside, Inside, Last - jashtë së pari, pastaj brenda), e quajtur edhe vetia shpërndarëse e shumëzimit, duke marrë:
6x2 + 4x + 9x + 6
Tani është e mundur të shtoni 4x dhe 9x pasi ato janë terma të ngjashëm. Ju e dini që faktorët janë të saktë sepse është marrë ekuacioni origjinal:
6x2 + 13x + 6
Metoda 1 nga 6: Provë dhe Gabim
Nëse keni një polinom shumë të thjeshtë, mund të jeni në gjendje të kuptoni vetë faktorët duke e parë atë. Për shembull, pas praktikës, shumë matematikanë janë në gjendje të identifikojnë se shprehja 4x2 + 4x + 1 ka faktorët (2x + 1) dhe (2x + 1) pasi keni punuar shumë me këtë shprehje më parë. Por sigurisht që nuk do të jetë aq e lehtë me polinomet më të ndërlikuar. Në këtë shembull, ne do të përdorim një shprehje më pak të zakonshme:
3x2 + 2x - 8
Hapi 1. Listoni faktorët për termat a dhe c
Duke përdorur formatin standard të sëpatës2 + bx + c = 0, identifikoni termat e a dhe c dhe listoni faktorët e tyre. Për 3x2 + 2x - 8, kjo do të thotë:
a = 3 dhe ka një grup faktorësh: 1 * 3
c = -8 dhe ka katër grupe faktorësh: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 dhe -1 * 8.
Hapi 2. Mblidhni dy grupe kllapa bosh
Ju do t'i mbushni ato me konstantet e secilës shprehje:
(x) (x)
Hapi 3. Plotësoni hapësirat para x -ve me disa faktorë të mundshëm për vlerën a
Për termin a në shembullin e përdorur, 3x2, ekziston vetëm një mundësi:
(3x) (1x)
Hapi 4. Plotësoni dy hapësirat pas x -ve me një palë faktorësh për konstantet
Supozoni se ju zgjidhni numrat 8 dhe 1. Shkruani ato:
(3x
Hapi 8.)(
Hapi 1
Hapi 5. Vendosni cilat shenja (mbledhje ose zbritje) duhet të shkojnë midis ndryshoreve të x dhe numrave
Në varësi të shenjave në shprehjen origjinale, është e mundur të kuptohet se cilat duhet të jenë shenjat e konstanteve. Le t'i thërrasim dy konstantet për dy faktorët h dhe k:
nëse x2 + bx + c, pastaj (x + h) (x + k)
nëse x2 - bx - c ose sëpatë2 + bx - c, pastaj (x - h) (x + k)
nëse x2 - bx + c, pastaj (x - h) (x - k)
Për shembull, 3x2 + 2x - 8, shenjat duhet të jenë: (x - h) (x + k), duke rezultuar në dy faktorët:
(3x + 8) dhe (x - 1)
Hapi 6. Testoni zgjedhjet duke përdorur vetinë shpërndarëse
Një test i parë i shpejtë për të ekzekutuar është të shihni nëse termat e mesëm përputhen me vlerat e sakta. Nëse jo, ju mund të keni zgjedhur faktorët e gabuar për c. Le të testojmë përgjigjen:
(3x + 8) (x - 1)
Kur kryeni shumëzimin, do të merrni:
3x2 - 3x + 8x - 8
Duke e thjeshtuar këtë shprehje me shumën e termave të ngjashëm (-3x) dhe (8x), ju merrni:
3x2 - 3x + 8x - 8 = 3x2 + 5x - 8
Tani e dimë se duhet të identifikojmë faktorët e gabuar:
3x2 + 5x - 8 ≠ 3x2 + 2x - 8
Hapi 7. Ndryshoni faktorët nëse është e nevojshme
Në shembullin e përdorur, le të provojmë të përdorim 2 dhe 4 në vend të 1 dhe 8:
(3x + 2) (x - 4)
Tani termi c është i barabartë me -8, por produkti i jashtëm/i brendshëm (3x * -4) dhe (2 * x) është i barabartë me -12x dhe 2x, të cilat nuk do të kombinohen për të krijuar termin b të saktë +2x.
-12x + 2x = 10x
10x ≠ 2x
Hapi 8. Kthejeni rendin nëse është e nevojshme
Le të përpiqemi të lëvizim 2 dhe 4:
(3x + 4) (x - 2)
Tani termi c (4 * 2 = 8) është akoma i saktë, por produktet e jashtme/të brendshme janë -6x dhe 4x. Duke i kombinuar ato:
-6x + 4x = 2x
2x ≠ -2x Ne jemi afër 2x, por sinjali është i gabuar.
Hapi 9. Kontrolloni shenjat nëse është e nevojshme
Mbani të njëjtin rend, por ndryshoni atë me shenjën minus:
(3x - 4) (x + 2)
Tani termi c është akoma i saktë, por produktet e jashtme/të brendshme janë (6x) dhe (-4x). Si:
6x - 4x = 2x
2x = 2x Tani është e mundur të njihet termi pozitiv 2x nga problemi origjinal. Këta duhet të jenë faktorët e duhur.
Metoda 2 nga 6: Zbërthimi
Kjo metodë identifikon të gjithë faktorët e mundshëm për termat a dhe c dhe i përdor ato për të kuptuar se cilët faktorë duhet të jenë. Nëse numrat janë shumë të mëdhenj ose metodat e tjera duken më të komplikuara, përdorni këtë metodë. Le të përdorim shembullin:
6x2 + 13x + 6
Hapi 1. Shumëzoni termat a dhe c
Në këtë shembull, të dy janë të barabartë me 6.
6 * 6 = 36
Hapi 2. Gjeni vlerën e termit b duke u faktorizuar dhe testuar
Ju duhet të gjeni dy numra që janë faktorë të produktit të a * c dhe janë gjithashtu ekuivalentë me termin b (13) kur shtohen së bashku.
4 * 9 = 36
4 + 9 = 13
Hapi 3. Zëvendësoni dy numrat e marrë në ekuacion si shuma e termit b
Le të përdorim k dhe h për të përfaqësuar dy numrat që marrim, 4 dhe 9:
sëpatë2 + kx + hx + c
6x2 + 4x + 9x + 6
Hapi 4. Faktoroni polinomin përmes grupimit
Organizoni ekuacionin në mënyrë që të mund të përcaktoni faktorin më të madh të përbashkët të dy termave të parë dhe dy termave të fundit. Të dy grupet e faktorizuara duhet të jenë të njëjta. Shtoni faktorët më të mëdhenj të zakonshëm dhe vendosini në kllapa pranë grupit të faktorizuar; rezultati do të jenë dy faktorët:
6x2 + 4x + 9x + 6
2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)
Metoda 3 nga 6: Ndeshje e trefishtë
Ngjashëm me dekompozimin, metoda "fillimi i trefishtë" shqyrton faktorët e mundshëm të produkteve të termave a dhe c, pastaj i përdor ato për të gjetur vlerën e b. Si shembull, merrni parasysh ekuacionin e mëposhtëm:
8x2 + 10x + 2
Hapi 1. Shumëzoni termat a dhe c
Kjo do t'ju ndihmojë të identifikoni mundësitë e termit b si dhe metodën e dekompozimit. Në këtë shembull, a është e barabartë me 8 dhe c është e barabartë me 2.
8 * 2 = 16
Hapi 2. Gjeni dy numra me ata numra produkti dhe shuma e të cilëve janë ekuivalent me termin b
Ky hap është identik me metodën e dekompozimit - ju duhet të testoni dhe refuzoni kandidatët për konstante. Produkti i termave a dhe c është 16, dhe termi c është i barabartë me 10:
2 * 8 = 16
8 + 2 = 10
Hapi 3. Merrni këta dy numra dhe provoni zëvendësimin e tyre në formulën "ndeshje e trefishtë"
Merrni dy numrat nga hapi i mëparshëm - le t'i quajmë h dhe k - dhe t'i vendosim në këtë shprehje:
((sëpatë + h) (sëpatë + k)) / a
Në këtë rast, ne do të marrim:
((8x + 8) (8x + 2)) / 8
Hapi 4. Shih se cili nga dy termat në numërues është i pjestueshëm njësoj me a
Në këtë shembull, ne po testojmë nëse (8x + 8) ose (8x + 2) mund të ndahet me 8. (8x + 8) ndahet me 8, kështu që le ta ndajmë këtë term me a dhe t'i lëmë të tjerët ashtu siç janë Me
(8x + 8) = 8 (x + 1)
Termi që po kursejmë në këtë rast është pjesa e mbetur e pjesëtimit me termin a: (x + 1)
Hapi 5. Merrni faktorin më të madh të përbashkët të njërit ose të dy termave, nëse ka
Në këtë shembull, termi i dytë ka numrin 2 si faktorin e tij më të madh të përbashkët, pasi 8x + 2 = 2 (4x + 1). Përputheni këtë përgjigje me termin e identifikuar në hapin e mëparshëm. Këta janë faktorët në ekuacion.
2 (x + 1) (4x + 1)
Metoda 4 nga 6: Dallimi i dy rrënjëve
Disa koeficientë në polinome mund të identifikohen si "rrënjë", ose produkt i dy numrave. Identifikimi i këtyre rrënjëve ju lejon të faktorizoni polinomet shumë më shpejt. Konsideroni ekuacionin:
27x2 - 12 = 0
Hapi 1. Faktorizoni faktorin më të madh të përbashkët nëse është e mundur
Në këtë rast, ne mund të shohim se 27 dhe 12 janë të dy pjesëtues me 3, kështu që le t'i ndajmë ato:
27x2 - 12 = 3 (9x2 - 4)
Hapi 2. Identifikoni nëse koeficientët e ekuacionit janë numra katrorë
Për të përdorur këtë metodë, duhet të jeni në gjendje të merrni rrënjën katrore të saktë të termave. Vini re se shenjat minus janë lënë jashtë, pasi këta numra janë katrorë që mund të jenë produkte të dy numrave pozitivë ose negativë.
9x2 = 3x * 3x dhe 4 = 2 * 2
Hapi 3. Duke përdorur rrënjët katrore të identifikuara, shkruani faktorët
Merrni vlerat e a dhe c nga hapi i mësipërm (a = 9 dhe c = 4) dhe llogaritni rrënjët e tyre katrore - √ a = 3 dhe √ c = 2. Ata do të jenë koeficientët faktorë të shprehjeve:
27x2 - 12 = 3 (9x2 - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)
Metoda 5 nga 6: Formula Kuadratike
Nëse metodat e tjera dështojnë dhe ekuacioni nuk është faktorizuar në mënyrë të barabartë, përdorni formulën kuadratike. Konsideroni shembullin e mëposhtëm:
x2 + 4x + 1 = 0
Hapi 1. Zëvendësoni vlerat përkatëse në formulën kuadratike:
x = -b b (b2 - 4c)
2 -të
Ne marrim shprehjen:
x = -4 √ 4 (42 - 4•1•1) / 2
Hapi 2. Llogarit vlerën e x
Ju duhet të merrni dy vlera për x. Siç u tregua më lart, ne marrim dy përgjigje:
x = -2 + √ (3) ose x = -2 -√ (3)
Hapi 3. Përdorni vlerat x për të llogaritur faktorët
Zëvendësoni vlerat x. Ata do të jenë faktorët. Nëse identifikojmë dy përgjigjet si h dhe k, duhet të shkruajmë faktorët si më poshtë:
(x - h) (x - k)
Në këtë rast, përgjigja përfundimtare është:
(x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3))
Metoda 6 nga 6: Përdorimi i një kalkulatori
Nëse është e mundur të përdoret, një kalkulator grafik e bën procesin e faktorizimit shumë më të lehtë, veçanërisht në teste. Udhëzimet e mëposhtme janë për një llogaritës grafik. Konsideroni shembullin e mëposhtëm:
y = x2 - x - 2
Hapi 1. Futni ekuacionin në kalkulator
Ju do të përdorni një zgjidhës ekuacionesh, i njohur gjithashtu si një ekran [Y =].
Hapi 2. Grafikoni ekuacionin në kalkulator
Pasi të shtypni ekuacionin, shtypni butonin [GRAPH] - duhet të shihni një hark që përfaqëson ekuacionin (dhe do të jetë një hark pasi kemi të bëjmë me polinome).
Hapi 3. Shihni se ku harku kryqëzon boshtin x
Meqenëse ekuacionet polinomiale zakonisht shkruhen si sëpatë2 + bx + c = 0, këto janë dy vlerat e x që e bëjnë shprehjen të barabartë me zero:
(-1, 0), (2, 0)
x = -1, x = 2
Nëse nuk mund të identifikoni se ku grafi kalon boshtin x, shtypni [2nd] dhe pastaj [TRACE]. Shtypni [2] ose zgjidhni "zero". Rrëshqiteni kursorin në të majtë të kryqëzimit dhe shtypni [ENTER]. Rrëshqiteni kursorin në të djathtë të kryqëzimit dhe shtypni [ENTER]. Rrëshqiteni kursorin sa më afër kryqëzimit dhe shtypni [ENTER]. Llogaritësi do të gjejë vlerën e x. Bëni të njëjtën gjë për kryqëzimin tjetër
Hapi 4. Zëvendësoni vlerat x të marra në hapin e mëparshëm në dy shprehje faktorësh
Kur përdorni dy vlerat e x (h dhe k), shprehja e përdorur do të jetë:
(x - h) (x - k) = 0
Prandaj, dy faktorët duhet të jenë:
(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)
Këshilla
- Nëse keni një kalkulator TI-84 (grafikë), ekziston një program i quajtur "SOLVER" që zgjidh një ekuacion kuadratik. Ai gjithashtu zgjidh polinome të shkallëve të tjera.
- Nëse një term nuk ekziston, koeficienti është 0. Mund të jetë e dobishme të rishkruani ekuacionin nëse ekziston, për shembull: x2 + 6 = x2 + 0x + 6.
- Nëse keni faktorizuar një polinom duke përdorur formulën kuadratike dhe keni marrë përgjigje me radikalë, shndërroni vlerat x në thyesa për t'i kontrolluar ato.
- Nëse termi nuk ka një koeficient të shkruar, do të jetë 1, domethënë x2 = 1x2.
- Pas shumë praktikash, përfundimisht do të jeni në gjendje të faktorizoni polinomet në kokën tuaj. Deri atëherë, shkruajini ato në letër.