6 mënyra për të faktorizuar polinomet e shkallës së dytë (ekuacionet kuadratike)

Përmbajtje:

6 mënyra për të faktorizuar polinomet e shkallës së dytë (ekuacionet kuadratike)
6 mënyra për të faktorizuar polinomet e shkallës së dytë (ekuacionet kuadratike)

Video: 6 mënyra për të faktorizuar polinomet e shkallës së dytë (ekuacionet kuadratike)

Video: 6 mënyra për të faktorizuar polinomet e shkallës së dytë (ekuacionet kuadratike)
Video: Seminario de Actualización tributaria 2022 - webinar de actualización tributaria a 2022 2024, Marsh
Anonim

Një polinom përmban një ndryshore (x) të ngritur në një fuqi, të njohur si një shkallë, dhe disa terma dhe/ose konstante. Faktorizimi i një polinomi nënkupton ndarjen e shprehjes në shprehje më të vogla që shumohen. Kjo njohuri studiohet nga Algjebra I e tutje dhe mund të jetë e vështirë të kuptohet nëse nuk keni një themel.

hapa

Duke filluar

Faktori Polinomë i Shkallës së Dytë (Ekuacionet Kuadratike) Hapi 1
Faktori Polinomë i Shkallës së Dytë (Ekuacionet Kuadratike) Hapi 1

Hapi 1. Mblidhni shprehjen

Formati standard për ekuacionin kuadratik është:

sëpatë2 + bx + c = 0

Filloni duke renditur kushtet e ekuacionit nga fuqia më e madhe në atë më të vogël, ashtu si në formën e mësipërme. Për shembull, merrni;

6 + 6x2 + 13x = 0

Shprehja do të riorganizohet në mënyrë që të mund të punohet më lehtë duke ndryshuar vendndodhjen e termave:

6x2 + 13x + 6 = 0

Faktori Polinome i Shkallës së Dytë (Ekuacionet Kuadratike) Hapi 2
Faktori Polinome i Shkallës së Dytë (Ekuacionet Kuadratike) Hapi 2

Hapi 2. Gjeni formën e faktorizuar duke përdorur një nga metodat e mëposhtme

Faktorizimi i një polinomi rezulton në dy shprehje më të vogla që mund të shumëzohen për të prodhuar polinomin origjinal:

6x2 + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)

Në këtë shembull, (2x +3) dhe (3x + 2) janë faktorë të shprehjes origjinale, 6x2 + 13x + 6.

Faktori Polinome i Shkallës së Dytë (Ekuacionet Kuadratike) Hapi 3
Faktori Polinome i Shkallës së Dytë (Ekuacionet Kuadratike) Hapi 3

Hapi 3. Kontrolloni rezultatin

Shumëzoni faktorët e identifikuar. Pastaj thjesht kombinoni terma të ngjashëm. Fillojme me:

(2x + 3) (3x + 2)

Le ta testojmë duke përdorur metodën FOIL (Anglisht për First Outside, Inside, Last - jashtë së pari, pastaj brenda), e quajtur edhe vetia shpërndarëse e shumëzimit, duke marrë:

6x2 + 4x + 9x + 6

Tani është e mundur të shtoni 4x dhe 9x pasi ato janë terma të ngjashëm. Ju e dini që faktorët janë të saktë sepse është marrë ekuacioni origjinal:

6x2 + 13x + 6

Metoda 1 nga 6: Provë dhe Gabim

Nëse keni një polinom shumë të thjeshtë, mund të jeni në gjendje të kuptoni vetë faktorët duke e parë atë. Për shembull, pas praktikës, shumë matematikanë janë në gjendje të identifikojnë se shprehja 4x2 + 4x + 1 ka faktorët (2x + 1) dhe (2x + 1) pasi keni punuar shumë me këtë shprehje më parë. Por sigurisht që nuk do të jetë aq e lehtë me polinomet më të ndërlikuar. Në këtë shembull, ne do të përdorim një shprehje më pak të zakonshme:

3x2 + 2x - 8

Faktori Polinome i Shkallës së Dytë (Ekuacionet Kuadratike) Hapi 4
Faktori Polinome i Shkallës së Dytë (Ekuacionet Kuadratike) Hapi 4

Hapi 1. Listoni faktorët për termat a dhe c

Duke përdorur formatin standard të sëpatës2 + bx + c = 0, identifikoni termat e a dhe c dhe listoni faktorët e tyre. Për 3x2 + 2x - 8, kjo do të thotë:

a = 3 dhe ka një grup faktorësh: 1 * 3

c = -8 dhe ka katër grupe faktorësh: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 dhe -1 * 8.

Faktori Polinomë i Shkallës së Dytë (Ekuacionet Kuadratike) Hapi 5
Faktori Polinomë i Shkallës së Dytë (Ekuacionet Kuadratike) Hapi 5

Hapi 2. Mblidhni dy grupe kllapa bosh

Ju do t'i mbushni ato me konstantet e secilës shprehje:

(x) (x)

Faktori Polinome i Shkallës së Dytë (Ekuacionet Kuadratike) Hapi 6
Faktori Polinome i Shkallës së Dytë (Ekuacionet Kuadratike) Hapi 6

Hapi 3. Plotësoni hapësirat para x -ve me disa faktorë të mundshëm për vlerën a

Për termin a në shembullin e përdorur, 3x2, ekziston vetëm një mundësi:

(3x) (1x)

Faktori Polinome i Shkallës së Dytë (Ekuacionet Kuadratike) Hapi 7
Faktori Polinome i Shkallës së Dytë (Ekuacionet Kuadratike) Hapi 7

Hapi 4. Plotësoni dy hapësirat pas x -ve me një palë faktorësh për konstantet

Supozoni se ju zgjidhni numrat 8 dhe 1. Shkruani ato:

(3x

Hapi 8.)(

Hapi 1

Faktori Polinome i Shkallës së Dytë (Ekuacionet Kuadratike) Hapi 8
Faktori Polinome i Shkallës së Dytë (Ekuacionet Kuadratike) Hapi 8

Hapi 5. Vendosni cilat shenja (mbledhje ose zbritje) duhet të shkojnë midis ndryshoreve të x dhe numrave

Në varësi të shenjave në shprehjen origjinale, është e mundur të kuptohet se cilat duhet të jenë shenjat e konstanteve. Le t'i thërrasim dy konstantet për dy faktorët h dhe k:

nëse x2 + bx + c, pastaj (x + h) (x + k)

nëse x2 - bx - c ose sëpatë2 + bx - c, pastaj (x - h) (x + k)

nëse x2 - bx + c, pastaj (x - h) (x - k)

Për shembull, 3x2 + 2x - 8, shenjat duhet të jenë: (x - h) (x + k), duke rezultuar në dy faktorët:

(3x + 8) dhe (x - 1)

Faktori Polinome i Shkallës së Dytë (Ekuacionet Kuadratike) Hapi 9
Faktori Polinome i Shkallës së Dytë (Ekuacionet Kuadratike) Hapi 9

Hapi 6. Testoni zgjedhjet duke përdorur vetinë shpërndarëse

Një test i parë i shpejtë për të ekzekutuar është të shihni nëse termat e mesëm përputhen me vlerat e sakta. Nëse jo, ju mund të keni zgjedhur faktorët e gabuar për c. Le të testojmë përgjigjen:

(3x + 8) (x - 1)

Kur kryeni shumëzimin, do të merrni:

3x2 - 3x + 8x - 8

Duke e thjeshtuar këtë shprehje me shumën e termave të ngjashëm (-3x) dhe (8x), ju merrni:

3x2 - 3x + 8x - 8 = 3x2 + 5x - 8

Tani e dimë se duhet të identifikojmë faktorët e gabuar:

3x2 + 5x - 8 ≠ 3x2 + 2x - 8

Faktori Polinome i Shkallës së Dytë (Ekuacionet Kuadratike) Hapi 10
Faktori Polinome i Shkallës së Dytë (Ekuacionet Kuadratike) Hapi 10

Hapi 7. Ndryshoni faktorët nëse është e nevojshme

Në shembullin e përdorur, le të provojmë të përdorim 2 dhe 4 në vend të 1 dhe 8:

(3x + 2) (x - 4)

Tani termi c është i barabartë me -8, por produkti i jashtëm/i brendshëm (3x * -4) dhe (2 * x) është i barabartë me -12x dhe 2x, të cilat nuk do të kombinohen për të krijuar termin b të saktë +2x.

-12x + 2x = 10x

10x ≠ 2x

Faktori Polinome i Shkallës së Dytë (Ekuacionet Kuadratike) Hapi 11
Faktori Polinome i Shkallës së Dytë (Ekuacionet Kuadratike) Hapi 11

Hapi 8. Kthejeni rendin nëse është e nevojshme

Le të përpiqemi të lëvizim 2 dhe 4:

(3x + 4) (x - 2)

Tani termi c (4 * 2 = 8) është akoma i saktë, por produktet e jashtme/të brendshme janë -6x dhe 4x. Duke i kombinuar ato:

-6x + 4x = 2x

2x ≠ -2x Ne jemi afër 2x, por sinjali është i gabuar.

Faktori Polinomë i Shkallës së Dytë (Ekuacionet Kuadratike) Hapi 12
Faktori Polinomë i Shkallës së Dytë (Ekuacionet Kuadratike) Hapi 12

Hapi 9. Kontrolloni shenjat nëse është e nevojshme

Mbani të njëjtin rend, por ndryshoni atë me shenjën minus:

(3x - 4) (x + 2)

Tani termi c është akoma i saktë, por produktet e jashtme/të brendshme janë (6x) dhe (-4x). Si:

6x - 4x = 2x

2x = 2x Tani është e mundur të njihet termi pozitiv 2x nga problemi origjinal. Këta duhet të jenë faktorët e duhur.

Metoda 2 nga 6: Zbërthimi

Kjo metodë identifikon të gjithë faktorët e mundshëm për termat a dhe c dhe i përdor ato për të kuptuar se cilët faktorë duhet të jenë. Nëse numrat janë shumë të mëdhenj ose metodat e tjera duken më të komplikuara, përdorni këtë metodë. Le të përdorim shembullin:

6x2 + 13x + 6

Faktori Polinome i Shkallës së Dytë (Ekuacionet Kuadratike) Hapi 13
Faktori Polinome i Shkallës së Dytë (Ekuacionet Kuadratike) Hapi 13

Hapi 1. Shumëzoni termat a dhe c

Në këtë shembull, të dy janë të barabartë me 6.

6 * 6 = 36

Faktori Polinome i Shkallës së Dytë (Ekuacionet Kuadratike) Hapi 14
Faktori Polinome i Shkallës së Dytë (Ekuacionet Kuadratike) Hapi 14

Hapi 2. Gjeni vlerën e termit b duke u faktorizuar dhe testuar

Ju duhet të gjeni dy numra që janë faktorë të produktit të a * c dhe janë gjithashtu ekuivalentë me termin b (13) kur shtohen së bashku.

4 * 9 = 36

4 + 9 = 13

Faktori Polinome i Shkallës së Dytë (Ekuacionet Kuadratike) Hapi 15
Faktori Polinome i Shkallës së Dytë (Ekuacionet Kuadratike) Hapi 15

Hapi 3. Zëvendësoni dy numrat e marrë në ekuacion si shuma e termit b

Le të përdorim k dhe h për të përfaqësuar dy numrat që marrim, 4 dhe 9:

sëpatë2 + kx + hx + c

6x2 + 4x + 9x + 6

Faktori Polinome i Shkallës së Dytë (Ekuacionet Kuadratike) Hapi 16
Faktori Polinome i Shkallës së Dytë (Ekuacionet Kuadratike) Hapi 16

Hapi 4. Faktoroni polinomin përmes grupimit

Organizoni ekuacionin në mënyrë që të mund të përcaktoni faktorin më të madh të përbashkët të dy termave të parë dhe dy termave të fundit. Të dy grupet e faktorizuara duhet të jenë të njëjta. Shtoni faktorët më të mëdhenj të zakonshëm dhe vendosini në kllapa pranë grupit të faktorizuar; rezultati do të jenë dy faktorët:

6x2 + 4x + 9x + 6

2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)

(2x + 3) (3x + 2)

Metoda 3 nga 6: Ndeshje e trefishtë

Ngjashëm me dekompozimin, metoda "fillimi i trefishtë" shqyrton faktorët e mundshëm të produkteve të termave a dhe c, pastaj i përdor ato për të gjetur vlerën e b. Si shembull, merrni parasysh ekuacionin e mëposhtëm:

8x2 + 10x + 2

Faktori Polinome i Shkallës së Dytë (Ekuacionet Kuadratike) Hapi 17
Faktori Polinome i Shkallës së Dytë (Ekuacionet Kuadratike) Hapi 17

Hapi 1. Shumëzoni termat a dhe c

Kjo do t'ju ndihmojë të identifikoni mundësitë e termit b si dhe metodën e dekompozimit. Në këtë shembull, a është e barabartë me 8 dhe c është e barabartë me 2.

8 * 2 = 16

Faktori Polinome i Shkallës së Dytë (Ekuacionet Kuadratike) Hapi 18
Faktori Polinome i Shkallës së Dytë (Ekuacionet Kuadratike) Hapi 18

Hapi 2. Gjeni dy numra me ata numra produkti dhe shuma e të cilëve janë ekuivalent me termin b

Ky hap është identik me metodën e dekompozimit - ju duhet të testoni dhe refuzoni kandidatët për konstante. Produkti i termave a dhe c është 16, dhe termi c është i barabartë me 10:

2 * 8 = 16

8 + 2 = 10

Faktori Polinome i Shkallës së Dytë (Ekuacionet Kuadratike) Hapi 19
Faktori Polinome i Shkallës së Dytë (Ekuacionet Kuadratike) Hapi 19

Hapi 3. Merrni këta dy numra dhe provoni zëvendësimin e tyre në formulën "ndeshje e trefishtë"

Merrni dy numrat nga hapi i mëparshëm - le t'i quajmë h dhe k - dhe t'i vendosim në këtë shprehje:

((sëpatë + h) (sëpatë + k)) / a

Në këtë rast, ne do të marrim:

((8x + 8) (8x + 2)) / 8

Faktori Polinome i Shkallës së Dytë (Ekuacionet Kuadratike) Hapi 20
Faktori Polinome i Shkallës së Dytë (Ekuacionet Kuadratike) Hapi 20

Hapi 4. Shih se cili nga dy termat në numërues është i pjestueshëm njësoj me a

Në këtë shembull, ne po testojmë nëse (8x + 8) ose (8x + 2) mund të ndahet me 8. (8x + 8) ndahet me 8, kështu që le ta ndajmë këtë term me a dhe t'i lëmë të tjerët ashtu siç janë Me

(8x + 8) = 8 (x + 1)

Termi që po kursejmë në këtë rast është pjesa e mbetur e pjesëtimit me termin a: (x + 1)

Faktori Polinome i Shkallës së Dytë (Ekuacionet Kuadratike) Hapi 21
Faktori Polinome i Shkallës së Dytë (Ekuacionet Kuadratike) Hapi 21

Hapi 5. Merrni faktorin më të madh të përbashkët të njërit ose të dy termave, nëse ka

Në këtë shembull, termi i dytë ka numrin 2 si faktorin e tij më të madh të përbashkët, pasi 8x + 2 = 2 (4x + 1). Përputheni këtë përgjigje me termin e identifikuar në hapin e mëparshëm. Këta janë faktorët në ekuacion.

2 (x + 1) (4x + 1)

Metoda 4 nga 6: Dallimi i dy rrënjëve

Disa koeficientë në polinome mund të identifikohen si "rrënjë", ose produkt i dy numrave. Identifikimi i këtyre rrënjëve ju lejon të faktorizoni polinomet shumë më shpejt. Konsideroni ekuacionin:

27x2 - 12 = 0

Faktori Polinome i Shkallës së Dytë (Ekuacionet Kuadratike) Hapi 22
Faktori Polinome i Shkallës së Dytë (Ekuacionet Kuadratike) Hapi 22

Hapi 1. Faktorizoni faktorin më të madh të përbashkët nëse është e mundur

Në këtë rast, ne mund të shohim se 27 dhe 12 janë të dy pjesëtues me 3, kështu që le t'i ndajmë ato:

27x2 - 12 = 3 (9x2 - 4)

Faktori Polinome i Shkallës së Dytë (Ekuacionet Kuadratike) Hapi 23
Faktori Polinome i Shkallës së Dytë (Ekuacionet Kuadratike) Hapi 23

Hapi 2. Identifikoni nëse koeficientët e ekuacionit janë numra katrorë

Për të përdorur këtë metodë, duhet të jeni në gjendje të merrni rrënjën katrore të saktë të termave. Vini re se shenjat minus janë lënë jashtë, pasi këta numra janë katrorë që mund të jenë produkte të dy numrave pozitivë ose negativë.

9x2 = 3x * 3x dhe 4 = 2 * 2

Faktori Polinome i Shkallës së Dytë (Ekuacionet Kuadratike) Hapi 24
Faktori Polinome i Shkallës së Dytë (Ekuacionet Kuadratike) Hapi 24

Hapi 3. Duke përdorur rrënjët katrore të identifikuara, shkruani faktorët

Merrni vlerat e a dhe c nga hapi i mësipërm (a = 9 dhe c = 4) dhe llogaritni rrënjët e tyre katrore - √ a = 3 dhe √ c = 2. Ata do të jenë koeficientët faktorë të shprehjeve:

27x2 - 12 = 3 (9x2 - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

Metoda 5 nga 6: Formula Kuadratike

Nëse metodat e tjera dështojnë dhe ekuacioni nuk është faktorizuar në mënyrë të barabartë, përdorni formulën kuadratike. Konsideroni shembullin e mëposhtëm:

x2 + 4x + 1 = 0

Faktori Polinome i Shkallës së Dytë (Ekuacionet Kuadratike) Hapi 25
Faktori Polinome i Shkallës së Dytë (Ekuacionet Kuadratike) Hapi 25

Hapi 1. Zëvendësoni vlerat përkatëse në formulën kuadratike:

x = -b b (b2 - 4c)

2 -të

Ne marrim shprehjen:

x = -4 √ 4 (42 - 4•1•1) / 2

Faktori Polinome i Shkallës së Dytë (Ekuacionet Kuadratike) Hapi 26
Faktori Polinome i Shkallës së Dytë (Ekuacionet Kuadratike) Hapi 26

Hapi 2. Llogarit vlerën e x

Ju duhet të merrni dy vlera për x. Siç u tregua më lart, ne marrim dy përgjigje:

x = -2 + √ (3) ose x = -2 -√ (3)

Faktori Polinome i Shkallës së Dytë (Ekuacionet Kuadratike) Hapi 27
Faktori Polinome i Shkallës së Dytë (Ekuacionet Kuadratike) Hapi 27

Hapi 3. Përdorni vlerat x për të llogaritur faktorët

Zëvendësoni vlerat x. Ata do të jenë faktorët. Nëse identifikojmë dy përgjigjet si h dhe k, duhet të shkruajmë faktorët si më poshtë:

(x - h) (x - k)

Në këtë rast, përgjigja përfundimtare është:

(x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3))

Metoda 6 nga 6: Përdorimi i një kalkulatori

Nëse është e mundur të përdoret, një kalkulator grafik e bën procesin e faktorizimit shumë më të lehtë, veçanërisht në teste. Udhëzimet e mëposhtme janë për një llogaritës grafik. Konsideroni shembullin e mëposhtëm:

y = x2 - x - 2

Faktori Polinome i Shkallës së Dytë (Ekuacionet Kuadratike) Hapi 28
Faktori Polinome i Shkallës së Dytë (Ekuacionet Kuadratike) Hapi 28

Hapi 1. Futni ekuacionin në kalkulator

Ju do të përdorni një zgjidhës ekuacionesh, i njohur gjithashtu si një ekran [Y =].

Faktori Polinome i Shkallës së Dytë (Ekuacionet Kuadratike) Hapi 29
Faktori Polinome i Shkallës së Dytë (Ekuacionet Kuadratike) Hapi 29

Hapi 2. Grafikoni ekuacionin në kalkulator

Pasi të shtypni ekuacionin, shtypni butonin [GRAPH] - duhet të shihni një hark që përfaqëson ekuacionin (dhe do të jetë një hark pasi kemi të bëjmë me polinome).

Faktori Polinome i Shkallës së Dytë (Ekuacionet Kuadratike) Hapi 30
Faktori Polinome i Shkallës së Dytë (Ekuacionet Kuadratike) Hapi 30

Hapi 3. Shihni se ku harku kryqëzon boshtin x

Meqenëse ekuacionet polinomiale zakonisht shkruhen si sëpatë2 + bx + c = 0, këto janë dy vlerat e x që e bëjnë shprehjen të barabartë me zero:

(-1, 0), (2, 0)

x = -1, x = 2

Nëse nuk mund të identifikoni se ku grafi kalon boshtin x, shtypni [2nd] dhe pastaj [TRACE]. Shtypni [2] ose zgjidhni "zero". Rrëshqiteni kursorin në të majtë të kryqëzimit dhe shtypni [ENTER]. Rrëshqiteni kursorin në të djathtë të kryqëzimit dhe shtypni [ENTER]. Rrëshqiteni kursorin sa më afër kryqëzimit dhe shtypni [ENTER]. Llogaritësi do të gjejë vlerën e x. Bëni të njëjtën gjë për kryqëzimin tjetër

Faktori Polinomë i Shkallës së Dytë (Ekuacionet Kuadratike) Hapi 31
Faktori Polinomë i Shkallës së Dytë (Ekuacionet Kuadratike) Hapi 31

Hapi 4. Zëvendësoni vlerat x të marra në hapin e mëparshëm në dy shprehje faktorësh

Kur përdorni dy vlerat e x (h dhe k), shprehja e përdorur do të jetë:

(x - h) (x - k) = 0

Prandaj, dy faktorët duhet të jenë:

(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)

Këshilla

  • Nëse keni një kalkulator TI-84 (grafikë), ekziston një program i quajtur "SOLVER" që zgjidh një ekuacion kuadratik. Ai gjithashtu zgjidh polinome të shkallëve të tjera.
  • Nëse një term nuk ekziston, koeficienti është 0. Mund të jetë e dobishme të rishkruani ekuacionin nëse ekziston, për shembull: x2 + 6 = x2 + 0x + 6.
  • Nëse keni faktorizuar një polinom duke përdorur formulën kuadratike dhe keni marrë përgjigje me radikalë, shndërroni vlerat x në thyesa për t'i kontrolluar ato.
  • Nëse termi nuk ka një koeficient të shkruar, do të jetë 1, domethënë x2 = 1x2.
  • Pas shumë praktikash, përfundimisht do të jeni në gjendje të faktorizoni polinomet në kokën tuaj. Deri atëherë, shkruajini ato në letër.

Recommended: